Sinds enkele tientallen jaren houden wiskundigen zich bezig met knopen. En hun knopentheorie blijkt ook buiten de wiskunde verrassend nuttig.

Een team van Canadese en Chinese scheikundigen heeft de kleinste knoop ooit gelegd. In vakblad Nature Communications beschrijven de wetenschappers deze maand dat hun knoop een reeks van slechts 54 atomen bestaat. Het vorige record stamt uit 2020 en stond op 69 atomen.

Knopen zijn natuurlijk altijd al van levensbelang geweest in de klimsport en de scheepvaart, maar waarom zijn wetenschappers tegenwoordig ook geïnteresseerd in knopen? Een gratis longread.

Lees ook:

• Hoe wormen zichzelf supersnel uit de knoop halen
• Dit 3700 jaar oude kleitablet toont toegepaste geometrie

Kostbaar ongeluk

Nietsvermoedend loopt Nick Flynn door het Fitzwilliam Museum in Cambridge. Hij gaat een trap op, maar realiseert zich bovenaan dat het de verkeerde is. Nick draait zich om en voor hij het weet tuimelt hij naar beneden, recht op drie vazen af. Drie eeuwenoude, even breekbare als kostbare Chinese vazen. Uiteindelijk komt Nick er zonder kleerscheuren vanaf, maar de vazen, samen ongeveer een half miljoen euro waard, zijn in duizend stukjes gebroken. De oorzaak: een losse schoenveter.

Misschien was deze ramp wel te voorkomen geweest. Misschien had Nick zijn veters zoals veel mensen gestrikt met een dubbel slippende oudewijvenknoop. Zoals die naam al doet vermoeden, is dat geen al te sterke knoop. Hij gaat veel vaker los dan bijvoorbeeld een dubbel slippende platte knoop. En zo zijn er duizenden manieren om twee touwtjes aan elkaar te knopen. Als je hoog in de bergen klimt of midden op zee in een storm belandt, is de juiste knoop van levensbelang. En in een museum kan het je een hoop geld en schaamte besparen.

Wiskundigen houden zich van oudsher niet met zulke praktische zaken bezig, maar sinds kort zijn ook zij met touwtjes in de weer. De afgelopen decennia hebben ze een hele theorie over knopen ontwikkeld. En verrassend genoeg kunnen ook deze wiskundige knopen in sommige situaties levensreddend zijn.

Etherknopen

Hoewel de knopentheorie een relatief jong vakgebied is, werd er zo’n 150 jaar geleden al een eerste aanzet toe gegeven. De Britse natuurkundige Lord Kelvin, vooral bekend van de door hem ingevoerde temperatuurschaal, probeerde destijds de ‘ether’ te beschrijven. Dat was een onzichtbaar achtergrondspul waarvan gedacht werd dat het in het hele heelal aanwezig was.

In Kelvins theorie was alles verbonden met de ether – de aarde, de lucht en ook wij zelf. Die verbinding kwam tot stand via knopen. Elk atoom was volgens Kelvin een knoop in de ether, en verschillende knopen correspondeerden met verschillende atomen. Een eenvoudige knoop leverde een waterstofatoom op, een ingewikkeldere knoop een zuurstofatoom of een ijzeratoom. Zo zouden wij dus niets anders zijn dan een bonte verzameling etherknopen.

Eind negentiende eeuw werd echter aangetoond dat de ether helemaal niet bestaat. Daarmee verdween de knopentheorie van Lord Kelvin in de prullenbak. Maar hij had wel iets in gang gezet. Om elk atoom een etherknoop te kunnen toewijzen, had een andere natuurkundige, Peter Guthrie Tait, tabellen opgesteld van allerlei mogelijke knopen; een soort ‘periodiek systeem der knopen’.

De ‘onknoop’

Die tabellen bleken voor wiskundigen buitengewoon interessant. Ze lieten namelijk zien dat je knopen kunt ordenen. En dat is precies wat wiskundigen altijd willen doen: structuur aanbrengen. “Als je nieuwe objecten definieert, wil je ze uit elkaar kunnen houden”, zegt wiskundige Meike Akveld van de technische universiteit in Zürich.

Om al die verschillende knopen te kunnen onderscheiden, moet je wel eerst vastleggen wat een knoop is. Wiskundige knopen zijn anders dan de knopen in scheepstouwen of schoenveters. In de wiskunde heb je alleen een knoop als je maar één touw gebruikt en er bovendien geen losse eindjes zijn.

Neem de overhandse knoop, de knoop waarmee je begint als je je veters strikt. Pas als je de uiteinden onlosmakelijk aan elkaar verbindt, bijvoorbeeld met lijm, heb je wiskundig gezien een knoop: de klaverbladknoop. Wanneer je eerst een tweede overhandse knoop in het touw legt en daarna de uiteinden verenigt, heb je de wiskundige variant van de oudewijvenknoop – wellicht de knoop die Nick Flynn in moeilijkheden bracht.

Knopen worden onder andere gekenmerkt door het aantal kruisingen. De klaverbladknoop, Akvelds favoriete knoop, bevat slechts drie kruisingen. Daarmee is het de op simpelste wiskundige knoop. De simpelste is dus gewoon een gesloten lus, waarbij er slechts één kruising is. Typisch wiskunde: net zoals nul ook een getal is, is een lusje zonder kruisingen toch een knoop. Het heet dan ook de ‘onknoop’. “Zoals de Engelsen zeggen: the unknot is not knotted”, zegt Akveld lachend.

Priemknopen

Vervolgens draait het in de knopentheorie altijd om de vraag: is een bepaalde knoop gelijk aan een andere? Je zou misschien verwachten dat verschillende knopen makkelijk te onderscheiden zijn.

Met name de onknoop: een lusje is duidelijk te herkennen. Maar wanneer je dat lusje draait, dubbelvouwt of op een andere manier vervormt, heb je nog steeds een onknoop. Dan is die een stuk minder herkenbaar. De algemene regel is: twee knopen zijn hetzelfde als je zonder schaar de ene knoop in de andere kunt transformeren. Zolang de uiteinden aan elkaar vast blijven, mag je dus net zo lang draaien, schuiven en friemelen tot je op de andere knoop uitkomt. Is dat onmogelijk, dan zijn de twee knopen verschillend.

Vanwege deze regel kunnen twee knopen er heel anders uitzien, maar toch hetzelfde zijn. Ook kunnen twee knopen enorm op elkaar lijken, maar toch verschillend zijn. Zo heeft de klaverblad knoop twee gedaantes. Ze zijn elkaars spiegelbeeld, maar hoezeer ze ook op elkaar lijken, zonder te knippen zul je nooit van de ene variant de andere kunnen maken.

En dan is de klaverbladknoop nog vrij simpel. Wiskundigen houden zich met behoorlijk complexe knopen bezig. Hoe meer kruisingen een knoop bevat, hoe lastiger het is om te bepalen of die gelijk is aan een andere knoop. Het is alsof je twee enorme Rubiks kubussen moet oplossen zonder te weten of ze wel oplosbaar zijn. Wanneer je de ene knoop in de andere weet om te zetten, zijn ze zeker gelijk. Maar wat als dat niet lukt? “Zijn de knopen dan verschillend of ben je gewoon niet handig genoeg?”, vraagt Akveld.

De tabellen van Tait bevatten alle ‘priemknopen’ met nul tot en met zeven kruisingen. Priemknopen zijn alle knopen die niet tot een simpelere knoop te herleiden zijn. Ook zijn ze geen combinatie van simpelere knopen, zoals de oudewijvenknoop een combinatie is van twee klaverbladknopen. Mede dankzij computertechnieken zijn inmiddels alle priemknopen tot en met negentien kruisingen bekend. Maar die zijn gevonden via domme rekenkracht: gewoon alles uitproberen. Hoe groter het aantal kruisingen, hoe langer dat duurt. Veel liever hebben wiskundigen een manier waarmee je zonder langdurige computersimulaties van elke knoop kunt aangeven bij welke priemknoop die hoort.

Knopentheorie komt tot bloei

In de jaren tachtig zette de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones een grote stap richting zo’n methode. Hij bedacht een veelterm: een ingewikkelde algebraïsche formule die je op elke knoop los kunt laten. Zijn de uitkomsten van die formule voor twee knopen verschillend, dan zijn de knopen ook verschillend. Voor de ontwikkeling van die veelterm kreeg Jones in 1990 de Fieldsmedaille, ook wel bekend als ‘de Nobelprijs van de wiskunde’.

Vanaf dat moment kwam de knopentheorie echt tot bloei. Anderen borduurden voort op het werk van Jones en kwamen dichter bij de ultieme ontknoping: een veelterm waarmee je niet alleen kunt bewijzen dat twee knopen verschillend zijn, maar ook dat twee knopen hetzelfde zijn. De eerste stap is al gezet. Met een variant op de Jones-veelterm kunnen wiskundigen nu elke vermomde onknoop ontmaskeren. “Ik verwacht dat het ook nog gaat lukken voor de andere knopen”, zegt Akveld.

DNA-knopen

Dankzij de wiskundige doorbraken kregen knopen eind vorige eeuw ook andere wetenschappen in hun greep. Complexe knopen vind je immers op allerlei plekken in de natuur – onder andere in ons eigen lichaam. Zo bevat elke cel maar liefst twee meter aan DNA-strengen. Een cel is zelf nog geen millimeter in doorsnee. Het DNA zit dus behoorlijk opgepropt; geen wonder dat het in de knoop raakt.

Nu zijn er bepaalde kankerenzymen die deze DNA-knopen veranderen. Zo’n enzym laat een streng bijvoorbeeld niet meer bovenlangs, maar onderlangs een andere streng gaan. Als je de DNA-streng als touwtje zonder uiteinden ziet, gebruikt het enzym dus een schaar. En als je een schaar gebruikt, krijg je een andere knoop. Op die manier verandert het enzym op meerdere plekken de knoopstructuur in het DNA.

Toen dit mechanisme bekend was, konden wiskundigen via de knopentheorie voorspellen hoe het DNA er in een aangevallen cel uit moest zien. Die voorspelde knoopstructuur werd daarna met microscopen inderdaad aangetroffen. Deze ontdekking stelde medici in staat om een aangevallen cel al in een vroeg stadium te herkennen. Dat gaf ze letterlijk nieuwe aanknopingspunten om de aanval van een kankercel tegen te gaan of terug te draaien. Akveld: “Hierdoor kreeg de knopentheorie een enorme boost. Er kwamen opeens heel veel studenten biologie en geneeskunde naar knopencolleges.”

Geen wondermiddel

Behalve met de biologie is de knopentheorie inmiddels ook innig verstrengeld met de natuurkunde. Knopen duiken bijvoorbeeld steeds meer op in de snaartheorie. Met deze ‘theorie van alles’ hopen natuurkundigen uiteindelijk het gedrag van zowel de allerkleinste deeltjes als de allergrootste hemellichamen te beschrijven. Enkele Amerikaanse natuurkundigen hebben zelfs voorgesteld om in plaats van snaartjes de hele theorie rond knopen te bouwen, maar dat idee is nog wel heel speculatief – het doet bovendien denken aan Lord Kelvin en zijn ethertheorie.

Al met al lijkt de knopentheorie geen wondermiddel waarmee we kanker de wereld uit gaan helpen of het hele universum mee gaan beschrijven. Maar het is wel een fascinerend vakgebied, met verrassende toepassingen. Akveld hoopt dan ook dat meer mensen er kennis mee maken, het liefst van jongs af aan. Een middelbare scholier kan al met de Jones-veelterm rekenen. “Het leuke aan de knopentheorie is dat je iets kunt leren wat wiskundigen nog maar net hebben ontdekt.”

Dit verhaal was oorspronkelijk te lezen in KIJK 4/2021.

Tekst: Yannick Fritschy

Beeld: Pixabay

Ben je geïnteresseerd in de wereld van wetenschap & technologie en wil je hier graag meer over lezen? Word dan lid van KIJK!